夫唱婦隨、生兒育女的家庭制度，已成為人類文明的核心基石，其他制度都似乎不堪設想。但假如我們千萬年來實行的是一種截然不同的社會制度，我們也會覺得家庭制度是異想天開。那麼究竟有沒有一個客觀的原因，使家庭制度比其他制度優越呢？
近代婚姻觀念的成因
人類社會制度的絕大部分災難，都是源於所謂「公地悲劇」（tragedy of the commons）：當一項資源屬於「全民共有」的時候，便沒有人有動機去愛惜它，結果使它受到過度消耗和糟蹋。蘇聯的房屋短短幾年就變得殘破不堪，正是由於這個原因。
在有家庭制度前，人們以「多夫多妻」的雜交方式繁殖後代，生出來的孩子屬於全社會，即是屬於沒有人。（後來柏拉圖也提出過類似的建議！）養育每個孩子的成本都由全民分擔，產生「公地悲劇」，導致孩子的過量生產（overproduction）。於是人們逐漸發展出婚姻制度，由每個家庭負責扶養自己的孩子，以控制人口數量，並讓每個孩子得到父母的悉心照顧。
值得注意的是，如果一個女子跟多個男子交配，（至少在古時）難以判斷誰是孩子的父親，為撫養權責的私有化增添困難。但只要一女只侍一夫，即使一夫多妻，仍可確定孩子雙親的身分。可能這是其中一個原因，可以解釋為何世界各地的傳統文化，都把女性的忠貞看得比男性的專一更重要。當然，本文並非旨在評論這些觀念的優劣，而是分析其成因。
如何避免出軌
要建立穩健的家庭制度，還需防止夫婦「出軌」的情況（否則仍會出現不知孩子父親是誰的問題！）。當年柬埔寨的共產政權為成年男女強行配對，結果政權倒台後出現了大量婚外情和離婚。在自由戀愛的社會中，通常由男方主動追求女方。事實上，這個機制的好處是會產生較穩定的婚姻組合。為什麼呢？
讓我們首先考慮一個簡化的「男追女」模型。假設社會中有 n 個男人、n 個女人。每人對於所有異性有一個偏好次序（不同人可以有不同的口味）。他們用以下方式配對：
每個男人追求自己最喜歡的女人。每個女人在追求自己的男人中，選擇最喜歡的男人為男朋友。
在第1輪找不到女朋友的男人，追求自己第2喜歡的女人。每個女人在現任男朋友和正追求自己的男人中，選擇最喜歡的男人為男朋友（如果此人不是現任男朋友，則甩掉現任男朋友）。
在第2輪找不到女朋友（或被女朋友甩掉）的男人，追求在自己還未追求過的女人中，自己最喜歡的女人。每個女人在現任男朋友和正追求自己的男人中，選擇最喜歡的男人為男朋友（如果此人不是現任男朋友，則甩掉現任男朋友）。
如此類推，所有人都會在有限時間內找到男／女朋友。此時，每對男女朋友都結婚。
我們可以證明，這個機制可防止任何已婚男女私奔：假設男人 A 和女人 B 要私奔，那麼 A 喜歡 B 多於自己的妻子 C，而 B 喜歡 A 多於自己的丈夫 D。但根據上述機制，A 在追求 C 之前，必定追求過 B。(i) 如果當時 B 選了 A 為男朋友，隨後不可能甩掉 A 而跟自己更不喜歡的男人（包括 D）拍拖和結婚。(ii) 如果當時 B 拒絕了 A，這代表 B 有了一個比 A 更喜歡的男友，隨後更不可能跟D拍拖和結婚。綜上所述，如果有任何男女要私奔，邏輯上必會出現矛盾。
2012年，Lloyd Shapley 和 Alvin Roth 分享了諾貝爾經濟學獎，因為 Shapley 和當時已故的 David Gale 在1962年首次證明「男追女」機制會產生穩定的（即不存在私奔的）婚姻組合，而 Roth 則把這個理論應用到其他各種事情上，包括實習醫生與醫院的配對、學生與公立學校的配對、器官捐贈者與病人的配對，造福社會。
為何女人經常口是心非
固然，現實世界比抽象模型複雜得多，但這個婚姻配對的數學理論有五個有趣啓示，還是值得分享。
第一，雖然男人要努力追求女人，女人則可以逸待勞，好像對男人很不公平，但其實「男追女」機制是對男人有利、對女人不利的：Gale 和 Shapley 在1962年的論文中證明，每個男人在「男追女」機制下娶到的女人，是在任何穩定的婚姻組合中所能娶到的最喜歡的女人。相反，著名計算機科學家 Donald Knuth 在1976年證明，每個女人在「男追女」機制下嫁給的男人，是在任何穩定的婚姻組合中所能嫁到的最不喜歡的男人！
第二，根據同樣的推理可知，「女追男」機制也會產生穩定的婚姻組合（而且對女人有利、對男人不利），但「男女互追」的機制則一般並不穩定。就像所有汽車靠右行駛和所有汽車靠左行駛都是穩定的交通規則，一半靠右一半靠左則會撞車。現實中多為「男追女」，但有些非洲部落的習俗卻是「女追男」，原因值得探討。
第三，雖然上面闡述的「男追女」模型只是最簡單的情況，但只要稍作調整，便可包括人們寧願單身都不要某些配偶，以及男女總數不同的情況。McVitie 和 Wilson 在1970年證明，在所有穩定的婚姻組合中，單身的總是同一批人。換言之，如果某人在一個穩定組合中沒有配偶，那麼他／她在任何其他穩定組合中也不會找到配偶。
第四，我們好像假定了所有人都會根據自己真實的偏好次序來參與上述「男追女」機制，但或許有人可用虛假的偏好來參與這個機制，從而得到自己更喜歡的配偶（讀者可嘗試構作一個例子！）。1982年，Roth 證明了不存在任何機制，既能永遠產生穩定的婚姻組合，又能永遠使沒有人想謊報自己的偏好。但 Dubins 和 Freedman 在1981年證明，在「男追女」機制下，每個男人的其中一個最佳策略（weakly dominant strategy）是永遠講真話。反之，如果實行「女追男」機制，女人是不會有口是心非的動機的。
第五，這個理論也揭示了存在兩種性別的重要性。如果人類無分男女，同性繁殖，則未必有穩定的配對：假設 X 喜歡 Y 多於 Z；Y 喜歡 Z 多於 X；Z 喜歡 X 多於 Y，那麼無論 X、Y、Z 之間哪兩個人成為眷屬，都會有人出軌。另一方面，如果有三個或更多性別又如何呢？假設每個男人對女人有偏好，每個女人對小狗有偏好，每隻小狗對男人有偏好，是否總能找到穩定的三元婚姻組合（即每個「婚姻」包括一個男人、一個女人和一隻小狗，且沒有男人、女人、小狗有另組家室的動機）呢？這是一個未解難題，或許讀者中有人將來會作出貢獻。
原刊於人文經濟學會，獲作者授權發表。
（圖片：Pixabay）
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