P/NP(Youtube.com)

迎難而上 路遙致知

早前應邀擔任澳洲數學比賽香港賽區的頒獎嘉賓,以下是我在典禮致辭的譯文: 諸君,我很榮幸能出席今天這個場合,分享各位同學獲獎的喜悅,謹對所有得獎者致以最誠摯的恭賀。我也想說,澳洲數學比賽多年來在世界各地建立的聲譽和影響力,使我十分尊敬。 在我看來,數學比賽的參賽者可分為三種:第一種是什麼都不會做;第二種是在比賽中做出部分題目,比賽完了便拋諸腦後;第三種也是在比賽中做出部分題目,但賽後仍鍥而不捨,不搞清楚絕不罷休。而長遠來說,最有成就的通常是第三種,為什麼呢? 我們從數學比賽的其中一個最大得着,就是養成堅持不懈的治學態度,以及長期專注的思維能力。在澳洲數學比賽中,頭幾題應未至難於登天,但愈往後的題目便愈難,也需更長時間解答。全球最頂級的中學數學比賽──國際數學奧林匹克──分兩天進行,每天四個半小時答三題,平均每題個半小時。如果在座有同學將來成為數學家,做研究往往是花幾年之功去解決一個問題,有些百年難題更要窮幾代人的心血才大功告成。永不言棄的精神不單對做學問不可或缺,在人生中也是至關重要。 寒窗十年 已過萬山 諸君,我們現正身處一個激動人心的時代,因為許多難題都被一一攻克。20年前,懷爾斯證明了350年未解的費馬大定理。隨後,我們在開普勒猜想和卡塔蘭猜想亦陸續告捷。中國數學家張益唐近年得出的革命性結果,使孿生質數猜想(即存在無限對相差為2的質數)不再遙不可及。同時,一名秘魯數學家發表了弱哥德巴赫猜想(即任何大於5的奇數都可寫成三個質數之和)的證明。我最近讀到一名美國計算機學者的研究成果,有助破解千禧七大難題之一的「P/NP問題」。 凡此種種突破,無疑增強了我們的信念,使我們相信再難的問題都是可以解決的,正如披頭四名曲Let It Be的歌詞所言:“There will be an answer.” 然而,我們不能只“let it be”,而要奮然追尋知識,解開世界的奧秘,因為我相信對真理的渴望是藏在我們每個人心中的,但它不能僅僅藏在心中。 原刊於《大公報》,獲作者授權轉載。

險過剃頭的求學雜趣

險過剃頭的求學雜趣

在普林斯頓大學,每個本科生四年內有四次機會使用「PDF」選項,即在一個課程只要拿到C-或以上,成績表上便只寫P,不算入平均分;如果拿D就顯示D;不及格就是F。這項政策的原意是讓學生可以無後顧之憂,放心探索不熟悉的知識領域。

古今對聯搜奇

古今對聯搜奇

最近,我發現了「人名聯」的奇趣天地。昔日陳寅恪先生為清華大學入學試命題,力排眾議地出了一題對聯,上聯是「孫行者」,既是人名,亦藏虛實。結果有學生對出「胡適之」,得了滿分。我最近則在網上拋出上聯「張學良」,竟有人對出「宋教仁」,士皆稱絕。

學分制改革初探

學分制改革初探

我跟曾鈺成先生在很多政策上都意見分馳,但我們就新高中的通識教育科卻罕有地所見略同,對其缺乏系統的知識基礎感到遺憾。我從來不明白這科為何只著眼於當代時事(contemporary issues),而非像美國高中的博雅教育般,廣習古今東西的文理經典。

防守型與進攻型面試

防守型與進攻型面試

相反,如果事前準備好你想表達的重點,然後不論面試者問什麼問題,都把答案扯到你的重點上,便可反客為主,充分凸顯你的強項。換言之,答案是一早想好的,問題只是個空殼,讓你把答案填進去,萬變不離其宗。這就是我接受以色列電視台訪問領悟到的道理。

文憑試與IB的比較

文憑試與IB的比較

選讀母校首屆 IB 課程的小部分同學轉投了李寶椿聯合世界書院等國際學校,或是遠走他鄉,此亦無可厚非。然而,留下來的同學未有因此氣餒,反而咬緊牙關,五丁開山,最終全數創下驕人的成績,為母校歷史寫下可歌可泣的光輝一頁。

老子.海耶克.黃宏發

老子.海耶克.黃宏發

「這個時代的最大謬論,就是以為法律不但要是公正的,還必須是慈善的。人們以為法律不但要保障每個公民自由而不傷人地各展所能,自發上進,人們還要求法律直接促進人民的福祉、智慧和道德。這就是社會主義的糖衣誘惑。但我要強調:法律的這兩個用途是互相矛盾,水火不容的。我們必須二擇其一。」

什麼是美國?

什麼是美國?

既然這麼反對民主,那麼立國先賢們為美國設計的制度又是什麼呢?這是當年在費城開完制憲會議後,Benjamin Franklin 走出來時被一個中年婦女所問的問題。Franklin 答道:“A republic, Madam, if you can keep it.” 美國的政治制度不是民主,而是憲制共和。這是什麼意思呢?

什麼是博弈論?

什麼是博弈論?

當魯濱遜獨自一人在孤島上時,他的決策很簡單,就是做最能達到自己目標的事情。但問題是當有兩個或以上的人同時行動,且會互相影響,而我不知道你會做什麼,你也不知道我會做什麼,我們怎麼知道什麼行動最能達到自己的目標呢?博弈論就是研究理性人的互動決策的學問。

偉大的標誌就是被誤解

偉大的標誌就是被誤解

西方傳統視自私(selfishness)為萬惡之源,但鄂蘭發現一種更極端的邪惡,是當一個人失去了自我的意識(即selflessness)。世界上最大的暴行,往往來自放棄做人的無足輕重之輩(nobodies)──鄂蘭把這稱為「平庸之惡」(the banality of evil)。

理性的不理性

理性的不理性

假設你是軍隊裏的一名士兵,全軍正在跟一隻大怪獸搏鬥。如果所有士兵都勇往直前,便會打贏怪獸,但你有一定的機會陣亡。如果所有其他士兵都勇往直前,只有你一人臨陣脫逃,軍隊仍會戰勝(因為你一人的影響微不足道),而你則保證不會陣亡。但如果所有士兵都有這個想法,所有人都脫逃,便會全軍覆沒,所有人都陣亡。   這個故事帶出了經濟學中的「公共財」(public good)問題。跟私有財(private good)不同,生產公共財時,每個人的得益小於自己的付出,這使他不願付出,所以公共財會出現生產不足(underproduction)的情況。   在《布坎南──劃破國王新衣的劍俠》一文中,我提到布坎南(James M. Buchanan)創立了經濟學的「公共選擇學派」(public choice school),以經濟理論分析人們在政治機制中的行為。其實,民主選舉就是一個龐大的「公共財」問題。   如果認真研究各個候選人的優劣,需要不少時間和精力。然而,一名選民投票給哪個候選人,對選舉結果卻肯定沒有影響──除非所有其他選民的選票剛剛打成平手,而這在有眾多選民的情況下是幾乎不可能發生的。換言之,對每名選民來說,「認真研究候選人」的成本遠大於效益,是一項公共財。因此,理性的選民沒有動機認真研究候選人,這個現象稱為「理性的無知」(rational ignorance)。   無知與不理性的分別   我的朋友,George Mason University...

Return to Normalcy──無為的美德

Return to Normalcy──無為的美德

亞當.斯密(Adam Smith)曾說:“There is much ruin in a nation.” 意思是無論經過多少風暴蹂躪(包括世界大戰),一個國家都蘊含著無比的智慧和韌力,只要有自由安定的環境,人民必可迎難而上,再創新天,這也是哈定、柯立芝時代帶給我們最大的啟示。

質數理論的千載迷蹤

質數理論的千載迷蹤

質數和數論「無用」的狀況持續了幾千年。話說20世紀上半葉的戰亂時期,一個數學家被誤以為間諜而捉去處決,他連忙拿出跟一位知名數學家合作的數論文章,證明自己只是個研究「無用之物」的無辜學者,方才避過一劫。他事後笑稱,這大概是數論在現實生活中的唯一應用!

福利主義加劇貧富懸殊?

福利主義加劇貧富懸殊?

在貧民窟長大的黑人經濟學家索維爾(Thomas Sowell)嘆道:「黑人家庭熬過了幾個世紀的奴隸制和種族歧視,但卻因福利主義而土崩瓦解。」健全的家庭是人類社會的核心組織,也是兒童健康成長的重要支柱。拆散窮人的家庭,又怎能幫他們脫貧呢?

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