看到下面三位小學生的數學作業，你會把重點放在那裏呢？作業的問題是：「你有5塊曲奇餅，把一半給了我。你還有多少塊餅呢？」
你會欣賞不拘一格的圖解部分，還是因為看到不知所云的計算數式，而懷疑學生的能力呢？
圖一至三分別是三位小五、六同學給出的答案。當時老師請同學閉目聆聽問題後，請他們畫出分餅的做法，看看是多少塊。大家都說得出是兩塊半。老師也讓他們互相解說各自的想法和畫法。
到了最後才要求他們用數式寫出計算方法。
有朋友非常欣賞老師的安排，因為他看到的亮點是學生在畫圖部分的表現，看得出學生自有一套想法，只在老師要求學生冩出數式和計算時，才適應不來。朋友説：「在這種教學法之下，未算完全想得到正解的同學，得以局部被肯定，學會去蕪存菁，學會回到自己道路的中途，吸收新元素，殊途同歸於正解；而不是不必要地全盤自我否定，喪失自信，生吞活剝死記硬背一套完全陌生的『唯一』正確道路，又可能進入愈學愈蠢、愈學愈無能的險境。」
感激學生犯錯！
朋友的話聽來説得重了，但我是能理解的，可能在他的學習經歷裹，遭遇過不少的打擊。老實說，作為數學老師看學生作業，重點當然放在數式和計算上，因為畫圖部分是拿不到分數的。況且以上三份作業出亂子的部分早已教了「正確的做法」，現在卻發現他們腦子裏竟然另有一套莫名其妙的做法。老師看到在數式計算部分的重災區，怎會不擔心學生的成績呢。
其實老師都會認同，學生犯錯是一個很好的學習切入點。學生敢於寫出有別於標準答案的做法，我們才能夠和他們有真正的思想交流，不用強逼他們不明不白地死跟一種做法。正如一位台裔奧地利籍音樂人楊佳恬（註）表揚她所遇到充滿教學熱忱的老師：「把『尋找屬於個人的答案』看得比『該給什麼答案』更重要！」
楊女士慶幸在奧地利的中學數學老師身上學到：「數學也沒有絕對正確的答案。數學其實是一種藝術。她一直很鼓勵我們用自己的算法，就算答案錯誤，也沒有關係。」她甚至會「感激學生犯錯，因為這樣才能知道真正還可以加強的地方在哪裏，我們才能一起來糾正，一起成長。」
沒有一個答案對也考得到高分
楊女士感激學生犯錯的想法，切實地發揮在她的教琴課：「如果學生彈錯音，我會先等學生開心彈完，⋯⋯ 然後，我再各彈一次學生錯誤的版本以及正確的版本。讓學生聽，到底有什麼不一樣。有的學生 ⋯⋯ 聽力還比較弱，會不解的看着我，回問，我覺得兩個版本都很對欸，哪裏有錯？我就是在等這句話！因為這就是我的切入點，聽不出來錯音，表示耳朵不了解和聲運作，我可以趁機教一下這裏的和聲環節。⋯⋯ 」
楊女士甚至豁達到：「也有發生過不少次學生下次回來上課，說他覺得改過來的正確版本不好聽，他覺得錯的比較好聽。如果學生堅持，我就讓他們彈他們的錯音版本，聽到時還是覺得挺可愛的。有時候還真的比較好聽欸，So，why not？」
為什麼在奧地利學習數學可以開心地犯錯，而又可以是有效的學習呢？除了老師的耐性，原來還有他們獨特的打分法：「我（楊女士）就考過幾乎沒有一個答案對、卻還幾乎滿分的數學考卷，因為自己想出來的解題方式都跟老師的不一樣，一路被加分加上去。她在打分數的時候，有時候答案錯誤，她會看算式，看你是在哪個步驟出錯，然後前面對的步驟還是給分，如果還想出跟老師不同的解題方式，還會給你加分。」
驟然看來，這種有如身處天堂的打分法，在我們的現實中遙不可及，但是原來在日常課堂，還是可以為學生開拓出空間的。這些例子下期續寫。
（註）本文撮用楊佳恬的兩篇文章：
為何我們的老師那麼愛出選擇題？奧地利一張全非選考卷，讓她看見台灣教育最大盲點
為何答案幾乎全錯的數學考卷，卻將近滿分？她在奧地利，經歷台灣很難學到的珍貴一課
畫出你的數學來之三
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