數衷情：畫出你的數學來

老師，你的學生是怎樣思考的呢？

在小學的數學練習中，這是一條很簡單的文字題：「把五塊曲奇餅，分給兩個人，平均每人可得到多少塊？」

如果當時剛教了除法，也教了小數的意義，老師會期望學生給出答案：5÷2 = 2.5。如果教了分數，就會期望他們懂得答：假如他們答不上，老師應該會很煩惱，因為之前一定剛教了類似的例子，而他們竟然水過鴨背，一絲痕跡也不留！

其實，多數學生是能夠給出標準答案的。少數未能做到的學生，只要提醒一下，當時也可以照辦煮碗，給出令老師滿意的答案。至於這類題目，將來在試卷跟其他課題混合出現時，學生辨認不到，以致表現大打折扣，這應該是他們試前不努力溫習了。

至於學生學習處理這條問題時，怎樣接收老師傳達的訊息？在自己腦海裏又建立了什麼數學概念？這個過程，在典型的課堂教學中，應該從未試過有機會表達出來。

其實，如果老師能夠在授課時，了解一下學生當時有什麼想法，是會令到教學更有效，學生也會學得更快樂。

老師，學生希望你明白他的想法

十年前，有一個中二學生翠兒，曾經告訴我：「『數學達人』說話很倔。她們總覺得道理在自己這一面。她們會平鋪直敘，以事論事，不會想到另一方面，或考慮另一個人會怎樣想，只會把自己的看法死板重覆地講。」

她提及的是數學成績好的同學，說的是同學的態度，但反映了一點從傳統學習培養出來，分享數學知識的模式。她再舉了一個例子：「這些『數學達人』跟你解釋數學時，也會耐性地給你講解，但只是從她的角度去解說。有一次要計算一個圖形的面積，她說了一個分割的方法，但是我也有另一個方法去計算，結果，她沒有接納我的做法，還是希望我跟她的方法去做。」

最後，翠兒很體諒地說：「也許，我們學習的數學，大多只有一個肯定的做法和答案，而『數學達人』很快已經可以掌握了這個做法和答案，她們不會再有其他的想法。但是，現實和數學是不同的，而『數學達人』在現實中就是不懂得拐個彎、換個位置來想一想，於是她們說出來的話便很倔了。」

她對老師的期許是：「我遇過的好老師會引導你去思考。她不會直接要答案，她會讓我說出我是怎樣想的。這樣聊着聊着，我便會找出解決的辦法，有時我更會發現自己在哪裏想錯了。」

可惜，這樣的機會，大多只是學生在課後找老師問數時才有，即使偶爾在課堂出現，也只是學生做堂課時，老師和個別學生單對單的交流。

翠兒也提過課堂的情況，她說：「當老師在你身邊時，她會看到你有什麼不明白或出錯的地方，她會告訴你可以怎樣做。人數方面，老師一班對30多人，不可能無微不至地走到每個人身邊講解，因為時間不容許。」

不過，令人鼓舞的是，十年後，我遇上了一系列讓學生表達他們想法的數學課。（註1）

同學，畫出你的想法來

這一系列的數學課，第一節就是用五塊曲奇餅的文字題開始，目標在找出學生怎樣理解文字，他們在給出數式、運算和答案前，腦海中出現了什麼數學概念。

這一節課，打從開始就跟一般上課模式不同。而且從頭到尾，半小時內，老師沒有作過任何關於數學的提示、解說或示範。老師只是一個主持人，盡量營造機會，鼓勵學生去表達自己。

首先，老師請同學閉上眼睛，專心去聽他提出問題：「你有五塊曲奇餅，把一半給了我。那麼，我有多少塊曲奇餅呢？」

第二步，老師說：「同學，畫出你的想法來。」

就是老師這一句，給了學生一個表達自己對數學想法的空間，在這個空間裏，學生可以檢視自己一路以來從老師和課本接收知識後，在自己腦海裏建立了什麼概念。

到了第三步，老師才請學生寫出他們的答案，並和鄰座同學討論。

第四步是選取兩位同學的作品向全班展示並討論。

最後第五步才是用數式去表達和計算。

老師，我是很有想法的

觀課時和課後看學生的作品，每一位的內容都很豐富，填滿一張A4紙。他們畫出來的分餅方法各適其適，配合圖畫而寫出來的答案也各有不同，不像平日上數學課時，常常因為怕出錯而什麼也不寫。當他們和鄰座同學交流時，除了支持自己的想法，也聆聽別人的想法，細心比較兩人作品的異同。其後，更滿有自信地爭相要老師選用自己的作品展示給全班看，讓他進行解說。

他們多樣的想法，下期介紹，讀者到時就會明白，他們的想法怎樣鼓舞着老師的教學熱誠，也提示了老師可以嘗試什麼新的教學法，不會對着學不到的學生，也只能無奈地繼續重覆同樣但失效的教學法。

（註1）這一系列是在八鄉中心小學的數學課。由於學校服務的學童，很多來自少數族裔家庭，包括尼泊爾、巴基斯坦、印尼等。他們本性熱情，喜歡繪畫和音樂，加上學校力推正向教育，所以學生喜歡表達自己的想法。英語是課堂內的溝通語言。

畫出你的數學來之一

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