善用數學思維，以簡馭繁

多年來，每當我告訴別人我是數學家時，都能預見對方會出現的反應。他們通常會變得十分緊張，慢慢和我拉開距離，然後躲到房間的另一端。人們通常會理直氣壯承認：「我在學校時，數學一直都學不好。」語氣中還能感覺到他們以此為傲。

但最近這種狀況開始轉變了。圖靈（Alan Turing）成為最新50英鎊紙鈔上的人物；奧斯卡獎提名了《魔球》、《關鍵少數》和《心靈捕手》等電影；突破獎頒獎典禮上，可以看到好萊塢明星在電視直播中，頒發數百萬美元獎金給數學家。我敢自信滿滿的告訴大家，數學已經酷起來了。

數字無所不在

數學愈來愈受大家重視的另一個重要原因，則是新冠肺炎疫情。突然間，數字變得無所不在。最近就連卡戴珊的Instagram貼文這類社群媒體，都能看到視覺化資料。人們開始廣泛使用「指數」和「信賴區間」等詞彙。以上種種，讓我覺得，了解數字能發現趨勢、並且做出預測，並不是什麼可恥的事。

疫情期間，我使用@BristOliver的推特帳號，以數學家的角度，發表對新冠肺炎統計數據的解讀，盡可能幫助人們了解現在的狀況，並且讓氾濫的數字變得更容易理解。在這個過程中，我不斷感受到，原來我在英格蘭布里斯托大學傳授給大學生的數學技巧，無論對任何人來說，都價值連城。

我們的生活已經逐漸受到資料和演算法支配。Siri完全可以聽懂我們說的話；使用Google翻譯也能得到接近專業水準的譯文；Netflix能夠將我們的觀看紀錄，與類似的使用者資料比對，藉此推薦我們最可能喜愛的同類型影劇。

縱使如此，人們可能不清楚這類人工智慧和機器學習，實際上都是建立在數學和統計學的基礎上。人工智慧和機器學習在21世紀有了全新面貌，不斷提升的算力也提供了極大動能，但背後的基礎始終離不開數學。這樣的矽谷奇蹟依仗的是：在百萬維度世界中的點雲（空間中的一組離散的數據點）幾何形狀、在隨機中找出結構和模式的技術，以及處理大量數據的嚴謹數學方法等等概念。

大部分人都不清楚專業數學家整天在忙什麼，也許他們會認為我們在計算複雜的微積分，或者互相較勁誰能記住最多圓周率的位數；也許他們腦海中會浮現出一個不起眼的老頭，拿着粉筆在黑板上書寫充斥着希臘字母而難以理解的公式（老實說，這個猜測算是十分接近）。人們會這樣看待數學家，我們也要負起部分責任。數學家並沒有盡心盡力向大家解釋，為什麼我們所做的事如此重要。

這本書試圖翻轉這些偏見。現代世界人人皆有手機、平板或電腦，透過這些裝置，我們能比以往更快速接收瞬息萬變的世界的巨量資訊。因此我認為，現今日常生活中，早已離不開無窮無盡的數字，而我們也需要了解數字背後的事實。我相信數學提供了一種思考世界的方法，能讓人們了解氾濫的資料和複雜狀況，並且避免受到錯誤資訊與錯誤解讀的誤導。我想傳授讀者一些數學技巧，幫助大家透過數學家的觀點，了解這個世界。推特（現為X平台）非常適合用來傳遞簡短且即時的資訊，但無法讓我這個數學家以喜愛的方式呈現想法。我試着用這本書，寫出我的想法，並且解釋為什麼數學家會如此思考事物。

數學模型以簡馭繁

一切的核心都來自於數學模型的概念。某種角度來說，我們心中都存在事物運作的原理模型。例如，我們都十分清楚物體會因為地心引力而落到地上。但如果不是牛頓一步步推導，將這個想法轉化為數學公式，我們並無法真正理解上述現象的物理原理。

模型應當要有兩種功能：首先要能解釋我們手上的資料，再者要能預測尚未遭逢的狀況，理想上還須包含這些預測的準確度的嚴謹校正。數學家通常會找出數字或資料的模式，並且提出可能足以解釋這些模式的理論。例如，借助牛頓公式的計算結果，在岩士唐還未乘坐阿波羅11號登陸月球時，我們就已經十分清楚月球的重力大小。要是沒有這些公式，美國航太總署還不知道能否建造出可發射到月球的火箭呢。

奇怪的是，良好的模型並不一定要完全正確。統計學家博克斯有句名言提到：「所有模型都是錯的，但有些模型十分實用。」愛因斯坦的相對論研究成果告訴我們，牛頓公式並非完美無缺，例如，牛頓公式無法解決物體以接近光速移動時所出現的問題。但是在17世紀，人們還在乘坐馬車和帆船旅行，牛頓公式已經足夠準確，能夠有效預測日常生活中的物體行為。即使到了今天，速度最快的火箭也遠不及光速，因此從務實的觀點來看，完全符合阿波羅8號太空人安德斯說過的名言：「太空船怎麼飛，牛頓說了算。」

疫情模型也是類似狀況，雖然那些描繪新冠肺炎傳播狀況的數學模型過於簡單，忽略了真實世界的某些影響因素，但如果模型足以產出可靠的短中期預測，就很可能已足以實際應用。

相關概念就是所謂的「玩具模型」。玩具模型意指完全抽象、且與真實世界差異甚大的模型，但卻足以顯現出真實世界的某些性質。大家可能聽過一則聲名狼藉的杜撰故事。有人拜託一名數學家提供乳牛農場設計建議，數學家給出的模型寫到：「考慮一隻完美球形光滑無摩擦力的乳牛，在零重力的空間中……」

儘管如此，精心挑選的玩具模型，確實能夠在思考真實世界時，派上用場。譬如，我花了不少時間思考，如何利用逐步給予每人一頂能立即阻擋病毒的帽子的假想情境，找出資料中呈現的新冠肺炎疫苗效果。（第3章在對數刻度圖上繪製資料數據時，就能看到明顯效果。對數刻度圖上，會看到一條逐漸變得陡峭的曲線。英國2021年春季的新冠肺炎死亡人數資料，也能看到相同效果。雖然模型的假設無疑過於簡單，但是仍提供了一個發現疫苗效果的方法。）如果我們能將真實現象的關鍵要素，抽象化之後，放進這類簡單模型中，然後利用模型得出洞見，這些洞見就能夠帶回日常生活中應用。當然，我們仍須注意玩具模型的有效程度。

市面上已經有許多推廣數學的好書，但往往將焦點放在怪誕或奇特的主題，例如，索托伊的《尋找月光》和賽門．辛的《費瑪最後定理》，或者關注數學與物理之間的關係，例如，法米羅的《宇宙用數字說話》。

大多數人往往會將數學簡單理解為解謎或玩弄數字的遊戲，這是數學家兼喜劇演員帕克最擅長的伎倆。數學確實可以非常好玩，而數學遊戲也是吸引人們學習數學的絕佳方法。但我認為大家同時也要知道，數學十分重要，數學是推動現代世界發展不可或缺的一環。數學是理性解釋事物的實用工具，我會在書中幫助大家了解數學如何做到這一點。

原刊於《社會菁英必備的數學素養》，本社獲天下文化授權轉載。

新書簡介：

書名：《社會菁英必備的數學素養：用數學思維看世界》（Numbercrunch: A Mathematician’s Toolkit for Making Sense of Your World）
作者：奧利弗．強森（Oliver Johnson）
出版社：天下文化
出版日期：2023年11月

作者簡介：

英國布里斯托大學（University of Bristol）資訊理論教授、數學學院統計科學研究所所長。曾任劍橋大學研究員和劍橋大學基督學院研究員。常擔任BBC廣播4台節目來賓，並為《旁觀者》雜誌撰稿。《泰唔士報》、《衛報》、《每日電訊報》、《紐約時報》都曾引用過他的文章。X帳號是@BristOliver，時常推文發表有關數學、音樂和阿斯頓維拉（Aston Villa）足球俱樂部的文章。現居於英國布里斯托市。